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  • 已知函数f（x）=ax2+lnx，（x＞0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）=x3+（a-2e）x2+（a+e2）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），都满足x1＜1k＜x2（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+lnx，（x＞0）
      （1）讨论函数f（x）的单调性；
      （2）令g（x）=x      3+（a-2e）x2+（a+e2）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
      （3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x      1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），都满足x1＜
      1
      k
      ＜x2（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：f′(x)=2ax+
      1
      x
      =
      2ax2+1
      x
      (x＞0)
      当a≥0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
      当a＜0时，f（x）的递增区间是(0，
      √-
      1
      2a
      )，递减区间是[
      √-
      1
      2a
      ，+∞)；
      （2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x      3+2ex2-（a+e2）x
      由H（x）=0得：
      lnx
      x
      =(x-e)2+a
      令?(x)=
      lnx
      x
      ，则?′(x)=
      1-lnx
      x2

      当0＜x＜e时，?'（x）＞0，当x＞e时，?'（x）＜0
      所以当x=e时，?（x）取最大值
      1
      e
      ，且当x→0时，?(x)=
      lnx
      x
      →-∞
      当x→+∞时，?(x)=
      lnx
      x
      →0
      令M（x）=（x-e）      2+a
      于是当a＜
      1
      e
      时，H（x）有两个零点；
      当a=
      1
      e
      时，H（x）有一个零点；
      当a＞
      1
      e
      时，H（x）没有零点．
      （3）当a=0时，f（x）=lnx k=
      lnx2-lnx1
      x2-x1

      若f（x）是优美函数，则      x1＜
      1
      k
      ＜x2，即x1＜
      x2-x1
      lnx2-lnx1
      ＜x2，于是1＜
      x2
      x1
      -1
      ln
      x2
      x1
      -1
      ＜
      x2
      x1

      解得：1-
      x1
      x2
      ＜ln
      x2
      x1
      ＜
      x2
      x1
      -1…、①
      令t=
      x2
      x1
      (t＞1)，则①可化为1-
      1
      t
      ＜lnt＜t-1
      令F（t）=lnt-t+1，则F′(t)=
      1
      t
      -1=
      1-t
      t
      ＜0F（t）在（1，+∞）上递减，当t=1时取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0ln
      x2
      x1
      ＜
      x2
      x1
      -1
      令G(t)=lnt+
      1
      t
      -1，于是G′(t)=
      1
      t
      -
      1
      t2
      =
      t-1
      t2
      ＞0
      当G（t）在（1，+∞）上递增，当t=1时取最小值G（1）=0、G(t)=lnt+
      1
      t
      -1＞G(1)=0ln
      x2
      x1
      ＞1-
      x1
      x2

      于是①成立，所以      x1＜
      x2-x1
      lnx2-lnx1
      ＜x2
      即      x1＜
      1
      k
      ＜x2
      所以函数f（x）为优美函数．
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