曲线C：f（x）=ax3+bx2+cx+d关于原点成中心对称，f（x）极小=f（1）=-23．（1）求f（x）的解析式；（2）在曲线C上是否存在点P，使过P点的切线与曲线C除P点以外不再有其它公共点？证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

曲线C：f（x）=ax³+bx²+cx+d关于原点成中心对称，f（x）_极小=f（1）=-

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在曲线C上是否存在点P，使过P点的切线与曲线C除P点以外不再有其它公共点？证明你的结论．

见解析

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象关于原点成中心对称，
∴对任意实数x，有f（-x）=-f（x），
即-ax³+bx²-cx+d=-（ax³+bx²+cx+d），
∴2bx²+2d=0对任意x∈R都成立，
∴b=d=0；
又∵f（x）_极小=f（1）=-

，
∴f′（x）=3ax²+c，
即3a+c=0，且a+c=-

；
解得a=

，c=-1；
∴f（x）=

x³-x．
（2）∵f（x）=

x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
∴过P点的切线斜率为k=f′（x₀）=x₀²-1，
∴切线方程为y-y₀=（x₀²-1）（x-x₀）①；
又点P（x₀，y₀）在曲线C上，∴y₀=

x₀³-x₀②；
曲线C：y=

x³-x③；
由①②③化简得：

x³-x₀²x+

x₀³=0；
考查函数g（x）=

x³-x₀²x+

x₀³，
∵g′（x）=x²-x₀²，
当x₀=0时，g′（x）≥0，g（x）是R上的增函数，有唯一零点x=x₀=0，
则过该点P（0，0）的切线y=-x与曲线C除P点以外不再有其它公共点．如图，

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