设函数f（x）=a3x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，若f（x）在（-∞，+∞）内无极值点，则实数a的取值范围是．试题及答案-填空题-云返教育

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设函数f（x）=

x³+bx²+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，若f（x）在（-∞，+∞）内无极值点，则实数a的取值范围是．

1≤a≤9

解：∵f（x）=

x³+bx²+cx+d（a＞0）
∴f′（x）=ax²+2bx+c，
∵方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，
∴ax²+（2b-9）x+c=0的两个根分别为1和4，
即

{	a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0

∴

{

(9-5a)

c=4a

又∵函数f（x）=

x³+bx²+cx+d（a＞0）在R上无极值
∴f′（x）=ax²+2bx+c≥0恒成立
∴4b²-4ac≤0，即b²-ac≤0
∴[

(9-5a)]²-4a²≤0，整理得a²-10a+9≤0
解得：1≤a≤9，
则实数a的取值范围1≤a≤9．
故答案为：1≤a≤9．

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