已知函数f（x）=ex+ax+b．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）当a=-e2时，若f（x）在R上有2个零点，求b的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=e^x+ax+b．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）当a=-e²时，若f（x）在R上有2个零点，求b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+ax+b可知，函数的定义域为R
又f'（x）=e^x+a，所以当a＞0时，e^x+a＞0
从而f'（x）=e^x+a＞0在定义域内恒成立．
所以，当a＞0时，函数f（x）=e^x+ax+b在定义域内为增函数．
（Ⅱ）当a=-e²时，f（x）=e^x-e²x+b
所以f'（x）=e^x-e²，由f'（x）＞0可得e^x-e²＞0解得x＞2
由f'（x）＜0可得e^x-e²＜0解得x＜2，所以f（x）在区间（-∞，2]上为减函数
在区间（2，+∞）上为增函数，所以函数f（x）在R上有唯一的极小值点x=2
也是函数的最小值点，所以函数的最小值为f(x)_最小=f(2)=e²-2e²+b=-e²+b
要使函数f（x）在R上有2个零点，则只需f(x)_最小=-e²+b＜0，即b＜e²
所以实数b的取值范围为（-∞，e²）

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选修1-1 北师大版解答题高中数学

已知函数f（x）=ex+ax+b．（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）当a=-e2时，若f（x）在R上有2个零点，求b的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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