已知函数f(x)=12x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设点A（x0，f（x0））为函数f（x）的图象上任意一点，若曲线f（x）在点A处的切线的斜率恒大于-3，求m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f(x)=

x²-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设点A（x₀，f（x₀））为函数f（x）的图象上任意一点，若曲线f（x）在点A处的切线的斜率恒大于-3，求m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵f(x)=

x²-(3+m)x+3mlnx，m∈R，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=x-(3+m)+

x²-(3+m)x+3m

(x-3)(x-m)

．
①当m≤0时，
令f'（x）＞0，解得x＞3，所以函数f（x）在（3，+∞）上是增函数；
②当0＜m＜3时，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜m或x＞3，所以函数f（x）在（0，m）和（3，+∞）上是增函数；
③当m=3时，f′(x)=

(x-3)²

≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）是增函数；
④当m＞3时，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜3或x＞m，所以函数f（x）在（0，3）和（m，+∞）上是增函数．
综上所述，
①当m≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）；
②当0＜m＜3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，m）和（3，+∞）；
③当m=3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
④当m＞3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，3）和（m，+∞）．
（Ⅱ）因为函数f（x）在点A（x₀，f（x₀））处的切线的斜率大于-3，
所以当x₀∈（0，+∞）时，f′(x₀)=x₀-(3+m)+

x₀

＞-3恒成立．
即当x₀∈（0，+∞）时，x₀²-mx₀+3m＞0恒成立．
方法1：
设h（x₀）=x₀²-mx₀+3m，函数h（x₀）的对称轴方程为x₀=

．
（ⅰ）当m=0时，h（x₀）=x₀²＞0在x₀∈（0，+∞）时恒成立．
（ⅱ）当

＞0时，即m＞0时，在x₀∈（0，+∞）时，函数h（x₀）＞0成立，则方程h（x₀）=0的判别式△=m²-12m＜0，解得0＜m＜12．
（ⅲ）当

＜0时，即m＜0时，h（x₀）在（0，+∞）上为增函数，h（x₀）的取值范围是（3m，+∞），则在x₀∈（0，+∞）时，函数h（x₀）＞0不恒成立．
综上所述，0≤m＜12时，在函数f（x）的图象上任意一点A处的切线的斜率恒大于-3．
方法2：
由x₀²-mx₀+3m＞0在x₀∈（0，+∞）时恒成立，得x₀∈（0，+∞）时，m(3-x₀)＞-x₀²．
（ⅰ）当x₀=3时，m(3-x₀)＞-x₀²恒成立；
（ⅱ）当0＜x₀＜3时，上式等价于m＞

x₀²

x₀-3

，h(x₀)=

x₀²

x₀-3

，由于此时h（x₀）为减函数，h（x₀）的取值范围是（-∞，0），只需m≥0；
（ⅲ）当x₀＞3时，m(3-x₀)＞-x₀²上式等价于m＜

x₀²

x₀-3

，设h(x₀)=

x₀²

x₀-3

，则h（x₀）=

(x₀-3)²+6(x₀-3)+9

x₀-3

=x₀-3+

x₀-3

+6，当x₀＞3时，h（x₀）≥12（当且仅当x₀=6时等号成立），则此时m＜12．
所以在（0，+∞）上，当0≤m＜12时，在函数f（x）的图象上任意一点A处的切线的斜率恒大于-3．

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选修1-1 北师大版解答题高中数学

已知函数f(x)=12x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设点A（x0，f（x0））为函数f（x）的图象上任意一点，若曲线f（x）在点A处的切线的斜率恒大于-3，求m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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