已知定义在R上的函数f（x）总有导函数f′（x），定义F（x）=exf（x），G（x）=f(x)exx∈R，e=2.71828一是自然对数的底数．（1）若f（x）＞0，且f（x）+f′（x）＜0，试分别判断函数F（x）和G（x）的单调性：（2）若f（x）=x2-3x+3，x∈[-2，t]（t＞1）．①求函数F（x）的最小值：②比较F（t）与34et的大小．试题及答案-解答题-云返教育

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已知定义在R上的函数f（x）总有导函数f′（x），定义F（x）=e^xf（x），G（x）=

f(x)

e^x

x∈R，e=2.71828一是自然对数的底数．
（1）若f（x）＞0，且f（x）+f′（x）＜0，试分别判断函数F（x）和G（x）的单调性：
（2）若f（x）=x²-3x+3，x∈[-2，t]（t＞1）．
①求函数F（x）的最小值：
②比较F（t）与

et的大小．

试题解答

见解析

解：（1）∵F（x）=e^xf（x），∴F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]；
又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴F（x）是R上的减函数；
∵G（x）=

f(x)

e^x

，∴G′（x）=

f^′(x)e^x-f(x)e^x

e^2x

f^′(x)-f(x)

e^x

；
又∵f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，∴f′（x）＜-f（x）＜0，
∴f′（x）-f（x）＜0，∴G′（x）＜0，∴G（x）是R上的减函数；
（2）①∵f（x）=x²-3x+3，x∈R；
∴F（x）=e^xf（x）=（x²-3x+3）e^x；
∴F′（x）=e^x[（2x-3）+（x²-3x+3）]=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
当x∈[-2，t]（t＞1）时，随着x的变化，F′（x），F（x）的变化情况如下表：

；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是F（-2）与F（1）中的较小者；
∵

F(-2)

F(1)

e³

＜1，F（1）＞0，∴F（-2）＜F（1）；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是13e^-2；
②∵F（t）=（t²-3t+3）e^t=[(t-

)²+

]e^t≥

e^t，现在证明e^t＞et；
设g（t）=e^t-et，则g′（t）=e^t-e；
∵t＞1，∴g′（t）＞e¹-e=0；
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数；
∴当t＞1时，g（t）＞g（1）=0，∴e^t＞et；
∴F（t）≥

e^t＞

et．

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选修1-1 北师大版解答题高中数学

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