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  • 设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若对任意的x∈（x1，+∞），都有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．
      （1）求实数a的取值范围；
      （2）讨论函数f（x）的单调性；
      （3）若对任意的x∈（x      1，+∞），都有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f（x）=x2+aln（x+1）可得f′(x)=2x+
      a
      x+1
      =
      2x2+2x+a
      x+1
      （x＞-1）．
      令g（x）=2x      2+2x+a（x＞-1），则其对称轴为x=-
      1
      2
      ，
      故由题意可知x      1，x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实数根，
      其充要条件为
      {
      △=4-8a＞0
      g(-1)=a＞0
      ，解得0＜a＜
      1
      2
      ；
      （2）由（1）可知f′(x)=
      2x2+2x+a
      x+1
      =
      2(x-x1)(x-x2)
      x+1
      ，其中-1＜x1＜x2，故
      ①当x∈（-1，x      1）时，f'（x）＞0，即f（x）在区间（-1，x1）上单调递增；
      ②当x∈（x      1，x2）时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（x1，x2）上单调递减；
      ③当x∈（x      2，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）在区间（x2，+∞）上单调递增；
      （3）由（2）可知f（x）在区间（x      1，+∞）上的最小值为f（x2）．
      又由于g（0）=a＞0，因此-
      1
      2
      ＜x2＜0．又由g(x2)=2x
      2
      2
      +2x2+a=0
      可得a=-(2      x
      2
      2
      +2x2)，从而f(x2)=x
      2
      2
      +aln(x2+1)=x
      2
      2
      -(2x
      2
      2
      +2x2)ln(x2+1)．
      设h（x）=x      2-（2x2+2x）ln（x+1），其中-
      1
      2
      ＜x＜0，
      则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1）．
      由-
      1
      2
      ＜x＜0知：2x+1＞0，ln（x+1）＜0，
      故h'（x）＞0，故h（x）在(-
      1
      2
      ，0)上单调递增．
      所以，f(x      2)=h(x2)＞h(-
      1
      2
      )=
      1-2ln2
      4
      ．
      所以，实数m的取值范围为m≤
      1-2ln2
      4
      ．
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