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  • 已知函数y=f（x）的图象与h(x)=12(x+1x)+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）若g(x)=f(x)+a2x且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）的图象与h(x)=
      1
      2
      (x+
      1
      x
      )+2的图象关于点A（0，1）对称．
      （1）求函数y=f（x）的解析式．
      （2）若g(x)=f(x)+
      a
      2x
      且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设点P（x，y）为函数y=f（x）图象的任意一点，则点P（x，y）关于点A（0，1）的对称点
      P′（-x，2-y）一定在h(x)=
      1
      2
      (x+
      1
      x
      )+2的图象上，则有2-y=
      1
      2
      (-x-
      1
      x
      )+2，
      变形得，y=
      1
      2
      x+
      1
      2x
      ，
      即函数y=f（x）的解析式为：f（x）=
      1
      2
      x+
      1
      2x
      ．
      （2）由（1）知：g(x)=f(x)+
      a
      2x
      =
      1
      2
      x+
      1+a
      2x
      ，在区间（0，2]上为减函数可得
      g′（x）=
      1
      2
      -
      1+a
      2x2
      ≤0在x∈（0，2]上恒成立，即a≥x2-1恒成立，
      故只需a≥（x      2-1）max=4，
      故实数a的取值范围为：a≥4
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      选修1-1北师大版解答题高中数学

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