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已知函数f (x)=2x2+x-k,g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,g(x)取得极值-2.(1)求函数g(x)的单调区间和极大值;(2)若对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;(3)若对任意x1∈[-1,3],x2∈[-1,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数k的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知函数f (x)=2x
2
+x-k,g(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,g(x)取得极值-2.
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值;
(2)若对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数k的取值范围;
(3)若对任意x
1
∈[-1,3],x
2
∈[-1,3],都有f(x
1
)≤g(x
2
)成立,求实数k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵g(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,
∴g(-x)=g(x),可得b=d=0,即g(x)=ax
3
+cx(a≠0),
又当x=1时,g(x)取得极值-2,∴
{
g′(1)=0
g(1)=-2
,即
{
3a+c=0
a+c=-2
,
解得
{
a=1
c=-3
,故函数g(x)=x
3
-3x,导函数g′(x)=3x
2
-3,
令3x
2
-3=0解得x=±1,当x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
故当x=-1时,g(x)取到极大值g(-1)=2
(2)f(x)-g(x)=2x
2
+4x-k-x
3
,对任意x∈[-1,3],都有f(x)≤g(x)成立,
只需k≥2x
2
+4x-x
3
,构造函数F(x)=2x
2
+4x-x
3
,x∈[-1,3],F′(x)=-3x
2
+4x+4,
令],F′(x)=0可得x=2或x=-
2
3
,当x∈(-1,-
2
3
)时,F′(x)<0,F(x)单调递减
当x∈(-
2
3
,2)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(2,3)时,F′(x)<0,F(x)单调递减,
当x=2时,F(x)取到极大值F(2)=8,F(-1)=-1,故F(x)的最大值为8,
故实数k的取值范围为:k≥8;
(3)若对任意x
1
∈[-1,3],x
2
∈[-1,3],都有f(x
1
)≤g(x
2
)成立,
即f(x)在区间[-1,3]上的最大值都小于或等于g(x)的最小值,
由(1)可知:当x∈[-1,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(1,3]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,故当x=1时,函数g(x)取到极小值,
也是该区间的最小值g(1)=-2,
而f (x)=2x
2
+x-k为开口向上的抛物线,对称轴为x=-
1
4
,故当x=3时取最大值f(3)=21-k,
由21-k≤-2,解得k≥23
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选修1-1
北师大版
解答题
高中
数学
函数在某点取得极值的条件
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