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  • 已知函数f（x）=ax-ax-2lnx，(a∈R)（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax-
      a
      x
      -2lnx，(a∈R)
      （Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围；
      （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f′(x)=a+
      a
      x2
      -
      2
      x
      =
      ax2-2x+a
      x2
      （x＞0）．
      ①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
      ②当a＞0时，令g（x）=ax      2-2x+a，
      ∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
      ∴g（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
      ∴a≥
      2x
      x2+1
      ，在区间[1，+∞）上恒成立．
      令u（x）=
      2x
      x2+1
      ，x∈[1，+∞）．
      ∵u（x）=
      2
      x+
      1
      x
      ≤
      2
      2
      √x?
      1
      x
      =1，当且仅当x=1时取等号．
      ∴a≥1．
      ∴当a≥1时，函数f（x）单调递增．
      ∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）；
      （2）由（1）可知：①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
      ②当a≥1时，此时函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
      ③当0＜a＜1时，由ax      2-2x+a=0，解得x1=
      1-
      √1-a2
      a
      ，x2=
      1+
      √1-a2
      a
      ．
      ∴函数f（x）在（0，x      1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．
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      选修1-1北师大版解答题高中数学

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