试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f(x)=2ax+bx+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=12处取得极值，求a，b的值；（Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=2ax+
      b
      x
      +lnx．
      （Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=
      1
      2
      处取得极值，求a，b的值；
      （Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵f′（x）=2a-
      b
      x2
      +
      1
      x
      ，…（2分）
      由
      {
      f′(1)=0
      f′(
      1
      2
      )=0
      ，…（4分）
      可得
      {
      a=-
      1
      3
      b=
      1
      3
      ．…（6分）
      （Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），…（7分）
      因为f′（1）=2，所以b=2a-1．…（8分）
      所以f′（x）=
      2ax2+x-(2a-1)
      x2
      =
      (x+1)[2ax-(2a-1)]
      x2
      ，…（9分）
      要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…（10分）
      当a=0时，f′（x）=
      x+1
      x2
      ＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数； …（11分）
      当a＜0时，令f′（x）=0，得x      1=-1，x2=
      2a-1
      2a
      =1-
      1
      2a
      ＞1，
      此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数； …（12分）
      当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤
      1
      2
      ．…（13分）
      综上所述，a的取值范围是a∈[0，
      1
      2
      ]．…（14分）
      标签
      选修1-1北师大版解答题高中数学

    函数在某点取得极值的条件相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn